A continuación se expondrá información sobre el
Teorema Del Limite Central y Ley de Grandes Números adjuntos a videos explicativos de ambos temas.
Teorema de Limite Central
El teorema
central del límite es uno de los resultados fundamentales de la estadística.
Este teorema nos dice que si una muestra es lo bastante grande (generalmente
cuando el tamaño muestral (n) supera los 30), sea cual sea la distribución de
la media muestral, seguirá aproximadamente una distribución normal. Es decir,
dada cualquier variable aleatoria, si extraemos muestras de tamaño n(n>30) y
calculamos los promedios muéstrales, dichos promedios seguirán una distribución
normal. Además, la media será la misma que la de la variable de interés, y la
desviación estándar de la media muestral será aproximadamente el error
estándar.
La
distribución de la media muestral de una población normal es una distribución
normal con la misma media poblacional y con desviación típica el error
estándar. Este hecho nos permite calcular probabilidades cuando tenemos una
muestra de una variable con distribución normal y desviación típica conocida.
Cuando no conocemos la desviación típica de la variable, también podemos hacer
cálculos con la distribución t de Student.
La importancia del teorema central
del límite radica en que mediante un conjunto de teoremas, se desvela las
razones por las cuales, en muchos campos de aplicación, se encuentran en todo
momento distribuciones normales o casi.
Cuando la muestra es lo bastante
grande, la solución nos viene dada por uno de los resultados fundamentales de
la estadística: el teorema del límite central.
La fórmula
formal que se utiliza para resolver problemas de este tema es:
El Teorema
Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables
independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera
que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.
Ejemplo: la
variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de
Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50
variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una
distribución normal.
Este teorema se aplica tanto a suma de
variables discretas como de variables continuas.
Los
parámetros de la distribución normal son:
Media: n *
m (media de la variable individual multiplicada por el número de variables
independientes)
Varianza: n
* s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de
variables individuales).
Ventajas del Teorema Central del Limite:
1. Permite
averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un
cierto intervalo.
2. Permite
calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a
priori, en un cierto intervalo.
3. Inferir
la media de la población a partir de una muestra.
La Ley de los Grandes Números
Pertenece a la
parte de las matemáticas que mide la frecuencia con la que se obtienen todas
las formas posibles que se pueden dar en un suceso, es decir, la probabilidad.
Su creador,
Bernoulli (en la imagen), publicó esta ley en su libro Ars Conjectandi en el
año 1713. Éste fue el primer intento para deducir medidas estadísticas a partir
de probabilidades individuales. Sin embargo, Bernoulli aún necesitaría veinte
años para perfeccionar la ley de los grandes números por completo.
En
la teoría de la probabilidad, bajo el
término genérico de La ley de los grandes números se engloban varios teoremas que escriben
el comportamiento del promedio de
una sucesión de variables aleatorias conforme
aumenta su número de ensayos.
Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.
Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.
Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.
Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.
La frase
"ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para
referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible
(incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con
el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un
individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que
alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas
comprasen boletos de lotería.
La ley nos
dice que la frecuencia relativa de las obtenciones de un experimento de
carácter aleatorio se estabiliza en un número que coincide con la probabilidad,
cuando el experimento se realiza muchas veces.
Teniendo
en cuenta que la frecuencia relativa es la proporción de veces que ocurre un
determinado suceso o, lo que es lo mismo, la cantidad de veces que sale un
único suceso entre el número de veces que se ha realizado el experimento,
podemos afirmar que la razón por la cual se estabiliza la frecuencia relativa
es porque al ser el denominador cada vez más grande, al cociente le afectan
cada vez menos las oscilaciones del numerador.
Dentro de
la ley de los grandes números podemos encontrar la Ley Débil y la Ley Fuerte.
La Ley Débil: esta
ley asegura que en muchas situaciones, la media aritmética de n variables
aleatorias se aproxima a un límite de la probabilidad de E[X].
Esta ley se cumple si en una
sucesión de variables aleatorias (Xn), {Xn - E[Xn]} se aproxima al límite de
probabilidad 0.
La Ley Fuerte: esta
ley afianza la ley débil, puesto que se va a establecer la convergencia con
probabilidad 1 en vez, solamente, convergencia en probabilidad.
De todo esto, podemos concluir la
ley de los grandes números en la siguiente ''fórmula'':
lím fr(S) = P[S] Cuando N tiende a infinito.
El experimento que
vamos a simular es el de dar un golpe a una bola de billar situada en la mesa
de juego, en el sentido que indica la flecha, y medir la distancia desde el
extremo izquierdo de la mesa al punto en el que la bola se detiene.
Sabemos
que el espacio muestral que resulta de este experimento es un espacio muestral
continuo. Para simplificar la simulación, podemos considerar la longitud de la
mesa de billar, dividida en 10 partes iguales.
Consideraremos
que el resultado del experimento es que la bola se detenga en alguna de las 10
partes. En este caso los posibles resultados son 10 y como todos los resultados
tienen la misma posibilidad, estamos ante un espacio de probabilidad discreto y
equiprobable.
La simulación consiste en que el ordenador
genere aleatoriamente un número comprendido entre 0 y 1, que representará la
distancia a la que se detiene la bola de billar. La probabilidad de que este
número caiga en el primer intervalo es 1/10, lo mismo en cada uno
de los intervalos restantes.
El
experimento va a consistir en repetir 10 veces el golpe a la bola.
Sobre
un sistema de referencia, colocamos, sobre el eje XX, los 10
intervalos en que hemos dividido la longitud de la mesa de billar, y sobre el
eje YY las frecuencias relativas de cada uno de estos
intervalos, veremos cómo las frecuencias relativas, varían de una ejecución del
experimento a otra.
Pero si aumentamos el número de veces que
golpeamos la bola a 20, 30 y así sucesivamente, observaremos que las
frecuencias relativas de cada intervalo tienden a estabilizarse en torno a 0,1,
que es la probabilidad que asignamos a que la bola se detenga en uno de los
intervalos.
Este es el resultado que demuestra el teorema
conocido cómo : Ley de los Grandes Números
Información extraída de:
